Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).

a = hipotenusa
b = cateto
c = cateto

O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a² = b² + c²

Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais).

O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:

Equilátero: possui os lados com medidas iguais.
Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.
Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:

Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º
Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.
Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado ângulo reto.

No triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas.

As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.

Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.

senoB = b/a
cossenoB = c/a
tangenteB = b/c

senoC = c/a
cossenoC = b/a
tangenteC = c/b

A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

O Teorema de Tales é determinado pela intersecção entre retas paralelas e transversais, que formam segmentos proporcionais. Foi estabelecido por Tales de Mileto que defendia a tese de que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinados. Partindo desse principio básico observado na natureza, intitulou uma situação de proporcionalidade que relaciona as retas paralelas e as transversais.

Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais. Observe:

No esquema acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são transversais, de acordo com o Teorema de Tales temos as seguintes proporcionalidades:

Observe que a relação estabelecida envolve noções de razão e proporção, o segmento AB está para o segmento BC assim como o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. A igualdade entre as duas razões formam uma proporção, o cálculo dessa proporção será resolvido através de uma simples multiplicação cruzada, ou de acordo com a propriedade das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Observe o seguinte exemplo, nele aplicaremos o Teorema de Tales para encontrar o valor do segmento desconhecido:

O Teorema de Tales possui inúmeras aplicações nas diversas situações envolvendo cálculo de distâncias inacessíveis, possui grande aplicabilidade nas questões relacionadas à Astronomia.

Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado:

∆ > 0, duas raízes reais e distintas.
∆ = 0, uma única raiz real e distinta.
∆ < 0, nenhuma raiz real.

Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja:

Soma das raízes – (x₁ + x₂)
Produto das raízes – (x₁ * x₂)

As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:

Com base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.

Soma




Produto





Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.

Observe:

A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:

Soma




Produto



Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2
S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14

–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14

7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14


Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

As raízes podem ter qualquer índice, mas no nosso estudo trataremos apenas das equações irracionais que apresentarem raízes quadradas. Não existe fórmula para resolver essas equações, mas temos um processo de resolução prático e seguro que nos conduz a equações cuja resolução já conhecemos.



1º passo: Isolamos o radical num dos membros da equação. Se existir mais de um radical, escolher um deles e isolar.

2º passo: Elevamos ao quadrado os dois membros da equação.



3º passo: Resolvemos a equação.

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.


Exemplo:

4 + x = 0
------
 x-2



X tem que ser diferente de +2 pois o denominador tem que ser diferente de 0



resolvendo



1° Calcula o mmc do denominador

2° Depois de eliminamos os denominadores

3° Reduzimos a equação