Equação biquadrada

So Matematica | 10:32 | , | 0 comentários

Equação biquadrada é uma equação de quarto grau, que para achar os valores de suas raízes é preciso transformá-la em uma equação de 2º grau.
Essa equação é escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx² + c = 0.

Onde a ≠ 0 e b e c devem assumir valores reais.

Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.

Para melhor compreensão, veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.

4x4 – 17x² + 4 = 0 → equação biquadrada

4(x²)² – 17x² + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: x2 = y, isso significa que onde for x2 iremos colocar y.

4y² – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.

a = 4 b = -17 c = 4

∆ = b² – 4ac
∆ = (-17)² – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225

x = - b ± √∆
_________
2a

x = -(-17) ± √225
_____________
2 . 4

x = 17 ± 15
_____________
8

x’ = 17 + 15 = 32 : 8 = 4
__________________
8

x” = 17 – 15 = 2 = 1
______________
8 = 8 = 4

Essas são as raízes da equação 4y² – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x4 – 17x² + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em
x² = y.

Para Y = 4
x² = y
x² = 4
x = √4
x = ± 4

Para Y = 1
x² = y
x² = 1


y = ±1


Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-2, -1, 1, 2}.
Equipe matematicando com leoncio

Sistema de equação do 2º grau

So Matematica | 17:07 | , | 0 comentários

A equipe do matematicando com Leoncio vai explicar como se resolve estas conta:

x=y+2
x²-y=4
******************

x²-2y²= -14
x+y=1
*****************
RESOLVENDO
x=y+2 ==> equação I
x²-y=4 ==> equação II

Por substituição:
Equação II:
(y+2)² - y = 4
y² + 2y + 4 - y = 4
y² + 2y - y = 0
y² + y = 0
y(y + 1) = 0
y = ou
y+ 1 = 0
y = -1
Solução: {X=2 y = 0}


******
x²-2y²= -14 equação I
x+y=1 equação II

Equação I
x = 1 - y
Equação II - substituição:
(1-y)² - 2y² + 14 = 0
1 - 2y + y² - 2y² + 14 = 0
-y² - 2y + 15 = 0
delta = b² - 4ac
delta = -2² - 4*-1*15
delta = 4 + 60

y = (-b +/-\/d) : 2a
y = (-(-2) +/- \/64) : 2*-1
y' = (2 + 8): -2 = -5
y" = (2 - 8): -2 = 3
Solução: { y = -5 X= 6 ou X = -2 y = 3}.

Equação do 2º Grau

So Matematica | 14:33 | , | 0 comentários





Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nesta equação, onde uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, onde o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0 36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornem a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:


1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16

2º passo:





Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.


Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0


No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.


Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 6² – 4 * 10 * 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é igual ou menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

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